Algebra lineare Esempi

Trovare l'Intersezione della Retta Perpendicolare al Piano 1 passante per l'Origine e il Piano 2 y=3x+2 , x-4y=9
y=3x+2y=3x+2 , x-4y=9x4y=9
Passaggio 1
Sottrai 3x3x da entrambi i lati dell'equazione.
y-3x=2,x-4y=9y3x=2,x4y=9
Passaggio 2
Per determinare l'intersezione di una linea passante per il punto (p,q,r)(p,q,r) e perpendicolare al piano P1P1 ax+by+cz=dax+by+cz=d e al piano P2P2 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h:
1. Trova i vettori normali del piano P1P1 e del piano P2P2, dove i vettori normali sono n1=a,b,cn1=a,b,c e n2=e,f,gn2=e,f,g. Verifica se il prodotto scalare è 0.
2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt e z=r+ctz=r+ct.
3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano P2P2 in modo tale che e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h e risolvi per tt.
4. Utilizzando il valore di tt, risolvi le equazioni parametriche x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt e z=r+ctz=r+ct per tt per trovare l'intersezione (x,y,z)(x,y,z).
Passaggio 3
Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
P1P1 è y-3x=2y3x=2. Calcola il vettore normale n1=a,b,cn1=a,b,c dall'equazione piana della forma ax+by+cz=dax+by+cz=d.
n1=-3,1,0n1=3,1,0
Passaggio 3.2
P2P2 è x-4y=9x4y=9. Calcola il vettore normale n2=e,f,gn2=e,f,g dall'equazione piana della forma ex+fy+gz=hex+fy+gz=h.
n2=1,-4,0n2=1,4,0
Passaggio 3.3
Calcola il prodotto scalare di n1n1 e n2n2 sommando i prodotti dei corrispondenti valori xx, yy e zz nei vettori normali.
-31+1-4+0031+14+00
Passaggio 3.4
Semplifica il prodotto scalare.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.1
Rimuovi le parentesi.
-31+1-4+0031+14+00
Passaggio 3.4.2
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.2.1
Moltiplica -33 per 11.
-3+1-4+003+14+00
Passaggio 3.4.2.2
Moltiplica -44 per 11.
-3-4+0034+00
Passaggio 3.4.2.3
Moltiplica 00 per 00.
-3-4+034+0
-3-4+034+0
Passaggio 3.4.3
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.3.1
Sottrai 44 da -33.
-7+07+0
Passaggio 3.4.3.2
Somma -77 e 00.
-77
-77
-77
-77
Passaggio 4
Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt e z=r+ctz=r+ct usando l'origine (0,0,0)(0,0,0) per il punto (p,q,r)(p,q,r) e i valori del vettore normale -77 per i valori di aa, bb e cc. Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a P1P1 y-3x=2y3x=2.
x=0+-3tx=0+3t
y=0+1ty=0+1t
z=0+0tz=0+0t
Passaggio 5
Sostituisci l'espressione per xx, yy e zz nell'equazione per P2P2 x-4y=9x4y=9.
(0-3t)-4(0+1t)=9(03t)4(0+1t)=9
Passaggio 6
Risolvi l'equazione per tt.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Semplifica (0-3t)-4(0+1t)(03t)4(0+1t).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1.1
Combina i termini opposti in (0-3t)-4(0+1t)(03t)4(0+1t).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1.1.1
Sottrai 3t3t da 00.
-3t-4(0+1t)=93t4(0+1t)=9
Passaggio 6.1.1.2
Somma 00 e 1t1t.
-3t-4(1t)=93t4(1t)=9
-3t-4(1t)=93t4(1t)=9
Passaggio 6.1.2
Moltiplica tt per 11.
-3t-4t=93t4t=9
Passaggio 6.1.3
Sottrai 4t4t da -3t3t.
-7t=97t=9
-7t=97t=9
Passaggio 6.2
Dividi per -77 ciascun termine in -7t=97t=9 e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Dividi per -77 ciascun termine in -7t=97t=9.
-7t-7=9-77t7=97
Passaggio 6.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Elimina il fattore comune di -77.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
-7t-7=9-7
Passaggio 6.2.2.1.2
Dividi t per 1.
t=9-7
t=9-7
t=9-7
Passaggio 6.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.3.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
t=-97
t=-97
t=-97
t=-97
Passaggio 7
Risolvi l'equazione parametrica per x, y e z usando il valore di t
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Risolvi l'equazione per x.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.1
Rimuovi le parentesi.
x=0-3(-1(97))
Passaggio 7.1.2
Rimuovi le parentesi.
x=0-3(-97)
Passaggio 7.1.3
Semplifica 0-3(-97).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.3.1
Moltiplica -3(-97).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.3.1.1
Moltiplica -1 per -3.
x=0+3(97)
Passaggio 7.1.3.1.2
3 e 97.
x=0+397
Passaggio 7.1.3.1.3
Moltiplica 3 per 9.
x=0+277
x=0+277
Passaggio 7.1.3.2
Somma 0 e 277.
x=277
x=277
x=277
Passaggio 7.2
Risolvi l'equazione per y.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Rimuovi le parentesi.
y=0+1(-1(97))
Passaggio 7.2.2
Rimuovi le parentesi.
y=0+1(-97)
Passaggio 7.2.3
Semplifica 0+1(-97).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.3.1
Moltiplica -97 per 1.
y=0-97
Passaggio 7.2.3.2
Sottrai 97 da 0.
y=-97
y=-97
y=-97
Passaggio 7.3
Risolvi l'equazione per z.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.1
Rimuovi le parentesi.
z=0+0(-1(97))
Passaggio 7.3.2
Rimuovi le parentesi.
z=0+0(-97)
Passaggio 7.3.3
Semplifica 0+0(-97).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.3.1
Moltiplica 0(-97).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.3.1.1
Moltiplica -1 per 0.
z=0+0(97)
Passaggio 7.3.3.1.2
Moltiplica 0 per 97.
z=0+0
z=0+0
Passaggio 7.3.3.2
Somma 0 e 0.
z=0
z=0
z=0
Passaggio 7.4
Le equazioni parametriche risolte per x, y e z.
x=277
y=-97
z=0
x=277
y=-97
z=0
Passaggio 8
Utilizzando i valori calcolati per x, y e z, il punto di intersezione risulta essere (277,-97,0).
(277,-97,0)
 [x2  12  π  xdx ]