Algebra lineare Esempi

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

Passaggio 1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Passaggio 2

Per determinare l'intersezione di una linea passante per il punto $(p, q, r)$ e perpendicolare al piano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e al piano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano $P_{1}$ e del piano $P_{2}$ , dove i vettori normali sono $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano $P_{2}$ in modo tale che $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per $t$ .

4. Utilizzando il valore di $t$ , risolvi le equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ per $t$ per trovare l'intersezione $(x, y, z)$ .

Passaggio 3

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$P_{1}$ è $y - 3 x = 2$ . Calcola il vettore normale $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione piana della forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Passaggio 3.2

$P_{2}$ è $x - 4 y = 9$ . Calcola il vettore normale $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione piana della forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Passaggio 3.3

Calcola il prodotto scalare di $n_{1}$ e $n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori $x$ , $y$ e $z$ nei vettori normali.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Rimuovi le parentesi.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Passaggio 3.4.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$- 7 + 0$

Passaggio 3.4.3.2

Somma $- 7$ e $0$ .

$- 7$

Passaggio 4

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando l'origine $(0, 0, 0)$ per il punto $(p, q, r)$ e i valori del vettore normale $- 7$ per i valori di $a$ , $b$ e $c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 5

Sostituisci l'espressione per $x$ , $y$ e $z$ nell'equazione per $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Combina i termini opposti in $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sottrai $3 \cdot t$ da $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6.1.1.2

Somma $0$ e $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $4 t$ da $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Passaggio 6.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 t = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 t = 9$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{9}{7}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione parametrica per $x$ , $y$ e $z$ usando il valore di $t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.1.3

Semplifica $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Passaggio 7.1.3.1.2

$3$ e $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Passaggio 7.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Passaggio 7.1.3.2

Somma $0$ e $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.2.3

Semplifica $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $- \frac{9}{7}$ per $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Passaggio 7.2.3.2

Sottrai $\frac{9}{7}$ da $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.3.2

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica $0 (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Passaggio 7.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 7.3.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$z = 0$

Passaggio 7.4

Le equazioni parametriche risolte per $x$ , $y$ e $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Passaggio 8

Utilizzando i valori calcolati per $x$ , $y$ e $z$ , il punto di intersezione risulta essere $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$